前言

本文整理通信系统中的核心公式和关键概念，分为通信原理和通信电子线路两大部分，便于快速查阅和考前复习。

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第一部分：通信原理

一、信号与系统基础

1.1 信号基本参数

周期信号功率：

$$P = \frac{1}{T} \int_0^T |s(t)|^2 dt$$

能量信号能量：

$$E = \int_{-\infty}^{\infty} |s(t)|^2 dt$$

傅里叶变换对：

$$\begin{aligned} S(f) &= \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{-j2\pi ft} dt \\ s(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} S(f) e^{j2\pi ft} df \end{aligned}$$

1.2 常用信号频谱

矩形脉冲：

$$\text{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) \leftrightarrow \tau \text{sinc}(f\tau)$$

其中 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$

高斯脉冲：

$$e^{-\pi t^2} \leftrightarrow e^{-\pi f^2}$$

冲激函数性质：

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) dt = f(t_0)$$

1.3 卷积与相关

卷积定理：

$$s_1(t) * s_2(t) \leftrightarrow S_1(f) \cdot S_2(f)$$

互相关函数：

$$R_{12}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} s_1(t) s_2^*(t - \tau) dt$$

自相关函数与功率谱密度：

$$R(\tau) \leftrightarrow P(f) \quad \text{(维纳-辛钦定理)}$$

二、模拟调制系统

2.1 幅度调制（AM）

标准调幅（AM）：

$$s_{AM}(t) = A_c[1 + m(t)] \cos(\omega_c t)$$

调制度（调幅系数）：

$$m_a = \frac{A_{max} - A_{min}}{A_{max} + A_{min}}$$

要求 $m_a \leq 1$，否则过调制失真。

AM 信号功率：

$$P_{AM} = P_c \left(1 + \frac{m_a^2}{2}\right)$$

边带功率占比：$\eta = \frac{m_a^2}{2 + m_a^2}$

双边带调制（DSB）：

$$s_{DSB}(t) = A_c m(t) \cos(\omega_c t)$$

无载波分量，效率 100%。

单边带调制（SSB）：

$$s_{SSB}(t) = \frac{A_c}{2} m(t) \cos(\omega_c t) \mp \frac{A_c}{2} \hat{m}(t) \sin(\omega_c t)$$

其中 $\hat{m}(t)$ 是 $m(t)$ 的希尔伯特变换，带宽减半。

残留边带调制（VSB）： 介于 DSB 和 SSB 之间，保留一个完整边带和另一边带的一部分。

2.2 角度调制（FM/PM）

瞬时频率：

$$f_i(t) = f_c + k_f m(t)$$

频率调制（FM）：

$$s_{FM}(t) = A_c \cos\left[\omega_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau) d\tau\right]$$

相位调制（PM）：

$$s_{PM}(t) = A_c \cos[\omega_c t + k_p m(t)]$$

调频指数（单音调制）：

$$m_f = \frac{\Delta f}{f_m} = \frac{k_f A_m}{f_m}$$

其中 $\Delta f$ 是最大频偏，$f_m$ 是调制信号频率。

Carson 带宽公式：

$$B_{FM} = 2(\Delta f + f_m) = 2f_m(m_f + 1)$$

窄带 FM（NBFM）： $m_f < 0.5$，$B \approx 2f_m$

宽带 FM（WBFM）： $m_f > 1$，$B \approx 2\Delta f$

2.3 解调方法

包络检波（AM）： 要求 $RC$ 时间常数满足：

$$\frac{1}{f_c} \ll RC \ll \frac{1}{f_m}$$

同步检波（相干解调）：

$$y(t) = s(t) \cos(\omega_c t + \phi) \xrightarrow{LPF} \frac{A_c}{2} m(t) \cos \phi$$

要求本地载波同频同相（$\phi = 0$）。

鉴频器（FM 解调）： 先微分后包络检波，或使用锁相环（PLL）。

三、数字基带传输

3.1 数字信号码型

单极性非归零（NRZ）：

• “1” → 高电平，“0” → 低电平
• 有直流分量，无同步信息

双极性非归零（Polar NRZ）：

• “1” → $+A$，“0” → $-A$
• 无直流分量

单极性归零（RZ）：

• 每个码元中间归零，便于提取时钟

差分码（Differential）：

• 用电平跳变表示信息（如差分曼彻斯特码）

AMI 码（传号交替反转）：

• “0” → 0V，“1” 交替为 $+A$ 和 $-A$

HDB3 码： 改进 AMI，连续 4 个”0”用特殊编码代替，保证同步。

3.2 基带信号频谱

单极性 NRZ 功率谱密度：

$$P(f) = \frac{A^2 T_s}{4} \text{sinc}^2(fT_s) \left[1 + \frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(f - \frac{n}{T_s}\right)\right]$$

双极性 NRZ 功率谱密度：

$$P(f) = A^2 T_s \text{sinc}^2(fT_s)$$

无离散分量（无直流）。

3.3 码间串扰（ISI）

奈奎斯特第一准则（无 ISI 条件）：

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} H\left(f - \frac{k}{T_s}\right) = T_s$$

理想低通（矩形频谱）：

$$H(f) = \begin{cases} T_s & |f| \leq \frac{1}{2T_s} \\ 0 & |f| > \frac{1}{2T_s} \end{cases}$$

时域为 sinc 函数，最小带宽 $B = \frac{R_b}{2}$（奈奎斯特带宽）。

升余弦滚降滤波器：

$$H(f) = \begin{cases} T_s & |f| \leq \frac{1-\alpha}{2T_s} \\ \frac{T_s}{2}\left[1 + \cos\frac{\pi T_s}{\alpha}\left(|f| - \frac{1-\alpha}{2T_s}\right)\right] & \frac{1-\alpha}{2T_s} < |f| \leq \frac{1+\alpha}{2T_s} \\ 0 & |f| > \frac{1+\alpha}{2T_s} \end{cases}$$

滚降系数 $\alpha \in [0, 1]$，实际带宽 $B = \frac{1+\alpha}{2T_s}$。

3.4 眼图

通过示波器叠加显示接收波形，观察指标：

• 眼开度： 反映噪声容限
• 最佳抽样时刻： 眼睛最大张开处
• 斜率： 反映对定时误差敏感度
• 抖动： 眼图模糊程度

四、数字调制系统

4.1 二进制数字调制

幅移键控（ASK/OOK）：

$$s(t) = \begin{cases} A \cos(\omega_c t) & \text{发送 "1"} \\ 0 & \text{发送 "0"} \end{cases}$$

带宽：$B = 2R_b$（矩形脉冲）

频移键控（FSK）：

$$s(t) = \begin{cases} A \cos(\omega_1 t) & \text{发送 "1"} \\ A \cos(\omega_2 t) & \text{发送 "0"} \end{cases}$$

带宽：$B = |f_1 - f_2| + 2R_b$

相移键控（PSK/BPSK）：

$$s(t) = \begin{cases} A \cos(\omega_c t) & \text{发送 "1"} \\ A \cos(\omega_c t + \pi) = -A \cos(\omega_c t) & \text{发送 "0"} \end{cases}$$

带宽：$B = 2R_b$

4.2 多进制调制

M-PSK（M 进制相移键控）：

$$s_i(t) = A \cos\left(\omega_c t + \frac{2\pi(i-1)}{M}\right), \quad i = 1, 2, \ldots, M$$

每个符号携带 $\log_2 M$ 比特，带宽 $B = \frac{2R_b}{\log_2 M}$。

QPSK（四相移键控）：

$$\begin{aligned} s(t) &= A \cos\left(\omega_c t + \frac{(2i-1)\pi}{4}\right) \\ &= \frac{A}{\sqrt{2}} \cos(\omega_c t) \pm \frac{A}{\sqrt{2}} \sin(\omega_c t) \end{aligned}$$

相位：$\pm 45°, \pm 135°$，带宽 $B = R_b$。

QAM（正交幅度调制）：

$$s(t) = A_I(t) \cos(\omega_c t) - A_Q(t) \sin(\omega_c t)$$

同时调制幅度和相位，频谱效率高（如 16-QAM、64-QAM）。

4.3 误码率（BER）

高斯白噪声信道下的 BER：

2ASK：

$$P_e = \frac{1}{2} \text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{4N_0}}\right)$$

2FSK（非相干）：

$$P_e = \frac{1}{2} e^{-\frac{E_b}{2N_0}}$$

2PSK/BPSK（相干）：

$$P_e = \frac{1}{2} \text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)$$

QPSK：

$$P_e \approx \text{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)$$

其中 $\text{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^\infty e^{-t^2} dt$（余误差函数）。

五、信道与噪声

5.1 信道容量

香农公式：

$$C = B \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right) \quad \text{(bit/s)}$$

理论意义：当信息传输速率 $R < C$ 时，存在编码方式使误码率任意小。

信噪比（SNR）：

$$\text{SNR(dB)} = 10 \log_{10}\left(\frac{S}{N}\right)$$

5.2 噪声

热噪声功率谱密度：

$$N_0 = kT \quad \text{(W/Hz)}$$

其中 $k = 1.38 \times 10^{-23}$ J/K（玻尔兹曼常数），$T$ 是绝对温度（K）。

噪声功率：

$$N = N_0 B = kTB$$

噪声系数（Noise Figure）：

$$F = \frac{\text{SNR}_{in}}{\text{SNR}_{out}} = 1 + \frac{T_e}{T_0}$$

以 dB 表示：$NF = 10 \log_{10} F$

级联系统噪声系数：

$$F_{total} = F_1 + \frac{F_2 - 1}{G_1} + \frac{F_3 - 1}{G_1 G_2} + \cdots$$

第一级噪声系数影响最大。

六、信息论基础

6.1 信息量

自信息：

$$I(x_i) = -\log_2 p(x_i) = \log_2 \frac{1}{p(x_i)} \quad \text{(bit)}$$

平均信息量（熵）：

$$H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i) \quad \text{(bit/符号)}$$

最大熵： 等概率分布时，$H_{max} = \log_2 n$

6.2 信道容量

离散无记忆信道容量：

$$C = \max_{p(x)} I(X; Y) = \max_{p(x)} [H(Y) - H(Y|X)]$$

二进制对称信道（BSC）：

$$C = 1 - H(p) = 1 + p \log_2 p + (1-p) \log_2(1-p)$$

其中 $p$ 是转移错误概率。

七、差错控制编码

7.1 基本概念

码字： $(n, k)$ 线性分组码，$k$ 个信息位，$n$ 个码字位，$r = n - k$ 个校验位。

码率：

$$R_c = \frac{k}{n}$$

汉明距离： 两个码字对应位不同的数目。

最小码距 $d_{min}$：

$$\begin{aligned} \text{检错能力：} &\quad e \leq d_{min} - 1 \\ \text{纠错能力：} &\quad t \leq \left\lfloor \frac{d_{min} - 1}{2} \right\rfloor \end{aligned}$$

7.2 汉明码

汉明码参数：

$$\begin{aligned} n &= 2^r - 1 \\ k &= 2^r - r - 1 \end{aligned}$$

最小码距 $d_{min} = 3$，可纠 1 位错。

常用汉明码：

• (7, 4) 汉明码：$r = 3$
• (15, 11) 汉明码：$r = 4$

7.3 循环冗余校验（CRC）

生成多项式 $g(x)$： 度为 $r$ 的多项式。

编码过程：

$$T(x) = x^r M(x) + R(x)$$

其中 $R(x)$ 是 $x^r M(x)$ 除以 $g(x)$ 的余数。

常用生成多项式：

• CRC-16：$g(x) = x^{16} + x^{15} + x^2 + 1$
• CRC-32：$g(x) = x^{32} + x^{26} + x^{23} + \cdots + 1$

7.4 卷积码

约束长度 $K$： 编码器记忆长度

码率： $R_c = \frac{k}{n}$（$k$ 个输入，$n$ 个输出）

Viterbi 译码： 最大似然序列检测算法

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第二部分：通信电子线路

八、高频小信号放大器

8.1 谐振回路

串联谐振：

$$\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \\ Q &= \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 CR} \\ BW_{-3dB} &= \frac{f_0}{Q} \end{aligned}$$

并联谐振：

$$\begin{aligned} Z_{\parallel}(f_0) &= \frac{L}{CR} = Q \omega_0 L \\ BW_{-3dB} &= \frac{f_0}{Q_L} \end{aligned}$$

有载品质因数：

$$Q_L = \frac{Q}{1 + \frac{R_p}{R_L}}$$

8.2 Y 参数与增益

晶体管 Y 参数：

$$\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_1 \\ U_2 \end{bmatrix}$$

电压增益（单调谐）：

$$A_v = \frac{U_o}{U_i} = -\frac{y_{fe} \cdot R_p'}{y_{ie} + Y_L}$$

功率增益：

$$A_p = |A_v|^2 \cdot \frac{R_i}{R_L}$$

最大可用增益（MAG）：

$$A_{p,max} = \frac{|y_{fe}|^2}{4 g_{ie} \cdot g_{oe}}$$

8.3 稳定性

稳定系数 $K$：

$$K = \frac{2(g_{ie} + G_s)(g_{oe} + G_L)}{|y_{fe} y_{re}| + \text{Re}(y_{fe} y_{re})} > 1$$

中和法： 引入反馈抵消 $y_{re}$，中和电容：

$$C_N = \frac{C_{bc}}{n^2}$$

九、高频功率放大器

9.1 谐振功率放大器

集电极效率：

$$\eta_C = \frac{P_{o1}}{P_{DC}} = \frac{U_{o1} I_{c1}}{U_{CC} I_{C0}}$$

功率关系：

$$P_{DC} = P_{o1} + P_C + P_\Omega$$

其中 $P_C$ 是管耗，$P_\Omega$ 是谐振回路损耗。

临界状态（欠压点）：

$$U_{ce,min} = U_{ces} \approx 0.5 \sim 1 \text{ V}$$

最大输出功率：

$$P_{o,max} = \frac{(U_{CC} - U_{ces})^2}{2R_L}$$

9.2 工作状态

欠压状态： $U_{ce,min} < U_{ces}$，效率高但失真大

临界状态： $U_{ce,min} = U_{ces}$，最佳工作点

过压状态： $U_{ce,min} > U_{ces}$，线性度好但效率低

9.3 负载特性

最佳负载电阻：

$$R_{opt} = \frac{U_{CC} - U_{ces}}{I_{c1}}$$

阻抗变换（抽头接入）：

$$n = \sqrt{\frac{R_p}{R_L}} = \frac{N_1}{N_2}$$

十、正弦波振荡器

10.1 振荡条件

起振条件（巴克豪森准则）：

$$\begin{aligned} |A_v \cdot F| &\geq 1 \quad \text{(幅度条件)} \\ \varphi_A + \varphi_F &= 2n\pi \quad \text{(相位条件)} \end{aligned}$$

平衡条件（稳定振荡）：

$$|A_v \cdot F| = 1$$

10.2 LC 振荡器

电容三点式（考毕兹）：

$$\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}} \\ F &= \frac{C_1}{C_2} \end{aligned}$$

相移网络：电容分压器

电感三点式（哈特莱）：

$$\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{(L_1 + L_2)C}} \\ F &= \frac{L_2}{L_1} \end{aligned}$$

相移网络：电感分压器

克拉波改进型： 在考毕兹基础上串联 $C_3$：

$$f_0 \approx \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_3}} \quad (C_3 \ll C_1, C_2)$$

频率稳定度高。

10.3 晶体振荡器

晶体等效电路： 串联 $L_q$、$C_q$、$R_q$，并联 $C_0$

串联谐振频率：

$$f_s = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_q C_q}}$$

并联谐振频率：

$$f_p = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_q C_q'}} \quad \text{其中 } C_q' = \frac{C_q C_0}{C_q + C_0}$$

品质因数 $Q$ 可达 $10^4 \sim 10^6$，频率稳定度极高。

十一、频率合成与锁相环

11.1 锁相环（PLL）基本方程

相位误差：

$$\theta_e(t) = \theta_i(t) - \theta_o(t)$$

鉴相器输出：

$$u_d(t) = K_d \theta_e(t)$$

压控振荡器（VCO）：

$$\omega_o(t) = \omega_0 + K_0 u_c(t)$$

环路传递函数：

$$H(s) = \frac{\Theta_o(s)}{\Theta_i(s)} = \frac{K_d K_0 F(s)}{s + K_d K_0 F(s)}$$

11.2 一阶环

滤波器： $F(s) = 1$

传递函数：

$$H(s) = \frac{K}{s + K} \quad (K = K_d K_0)$$

自然频率： $\omega_n = K$

捕获带： $\Delta\omega_c \approx \sqrt{2K \cdot BW_{LPF}}$

跟踪带： $\Delta\omega_L = K$

11.3 二阶环

比例积分滤波器：

$$F(s) = \frac{1 + \tau_2 s}{\tau_1 s}$$

阻尼系数：

$$\zeta = \frac{\tau_2}{2}\sqrt{\frac{K}{\tau_1}}$$

自然频率：

$$\omega_n = \sqrt{\frac{K}{\tau_1}}$$

最佳阻尼：$\zeta = 0.707$（临界阻尼）

十二、振幅调制与检波

12.1 调幅电路

基极调幅： 调制信号加在基极，改变晶体管工作状态。

集电极调幅：

$$U_{CC}(t) = E_{CC} + U_\Omega(t)$$

高电平调幅，效率高。

调制特性（抑制系数）：

$$M = \frac{U_{o,max} - U_{o,min}}{U_{o,max} + U_{o,min}}$$

12.2 检波电路

二极管包络检波：

RC 选择：

$$\frac{1}{\omega_c} \ll RC \ll \frac{1}{\omega_m}$$

对角切割失真： $RC$ 太大，放电过慢

负峰切割失真： $R_L$ 太小，检波器带负载能力不足

检波效率：

$$\eta_d = \frac{U_o}{U_{i,max}}$$

十三、混频器

13.1 混频原理

非线性器件转移特性：

$$i = a_0 + a_1 u + a_2 u^2 + a_3 u^3 + \cdots$$

输入信号 $u = U_s \cos \omega_s t$ 和本振 $U_L \cos \omega_L t$，产生组合频率。

中频频率：

$$\omega_{IF} = |\omega_s - \omega_L|$$

13.2 混频器指标

变频增益：

$$G_c = \frac{P_{IF}}{P_s}$$

噪声系数： 混频器会引入额外噪声，典型 NF = 6 ~ 10 dB。

镜像抑制： 镜像频率 $f_{im} = f_{LO} + f_{IF}$（上变频时）

镜像抑制比：

$$\alpha_{im} = \frac{1 + Q^2 \delta^2}{1 + Q^2 \delta_{im}^2}$$

其中 $\delta = \frac{f_s - f_0}{f_0}$，$\delta_{im} = \frac{f_{im} - f_0}{f_0}$

十四、调频与鉴频

14.1 调频方法

直接调频（VCO）： 用变容二极管改变振荡频率。

变容二极管结电容：

$$C_j = \frac{C_0}{(1 + \frac{U_R}{U_D})^n}$$

其中 $n = 0.3 \sim 0.5$（缓变结）或 $n \approx 1$（突变结）。

频率调制灵敏度：

$$K_f = \frac{d(\Delta f)}{dU_m}$$

14.2 鉴频方法

斜率鉴频： 利用失谐谐振回路的幅频特性。

相位鉴频： 利用移相网络和相位检波。

比例鉴频器： 两个反向串联的包络检波器，输出正比于频偏。

锁相鉴频： 用 PLL 跟踪 FM 信号，环路滤波器输出即为调制信号。

14.3 限幅器

消除幅度干扰，保留频率信息。

限幅系数：

$$S = \frac{U_{i,max}}{U_{i,lim}}$$

$S > 2$ 时限幅效果好。

十五、自动增益控制（AGC）

15.1 AGC 原理

检测输出信号强度，产生控制电压调节放大器增益。

AGC 电压：

$$U_{AGC} = k \cdot U_o$$

增益控制特性：

$$A_v = f(U_{AGC})$$

15.2 AGC 类型

延迟 AGC： 信号弱时不起作用，超过阈值才控制。

前向 AGC： 控制前级放大器（高频级）。

反向 AGC： 控制后级放大器（中频级）。

时间常数：

$$\tau = RC$$

要求：$\tau \gg T_{调制}$，避免削弱调制信号。

十六、关键参数速查表

参数	公式/典型值
热噪声功率谱密度	$N_0 = kT \approx 4 \times 10^{-21}$ W/Hz (290K)
AM 带宽	$B = 2f_m$
FM 带宽（Carson）	$B = 2(m_f + 1)f_m$
BPSK 带宽	$B = 2R_b$
QPSK 带宽	$B = R_b$
香农容量	$C = B \log_2(1 + \text{SNR})$
奈奎斯特带宽	$B_{min} = \frac{R_b}{2}$
升余弦滚降带宽	$B = \frac{R_b(1 + \alpha)}{2}$
晶体管截止频率	$f_T = \frac{\|y_{fe}\|}{2\pi C_{be}}$
谐振回路带宽	$BW = \frac{f_0}{Q}$
丙类放大器效率	$\eta_C = 70\% \sim 90\%$

复习要点

通信原理核心

1. 调制理论： 掌握 AM、FM、PM 的数学表达式和频谱特性
2. 数字调制： 理解 ASK、FSK、PSK、QAM 的星座图和误码率
3. 信道容量： 熟记香农公式及其物理意义
4. 编码理论： 汉明距离、纠错能力、CRC 原理

通信电子线路核心

1. 谐振回路： 品质因数、带宽、阻抗变换
2. 放大器： Y 参数、增益计算、稳定性
3. 振荡器： 起振条件、三点式电路判别
4. 锁相环： 环路方程、捕获带、跟踪带
5. 混频器： 中频选择、镜像抑制

常见陷阱

• FM 调制指数 $m_f = \frac{\Delta f}{f_m}$（注意分母是调制频率）
• QPSK 带宽是 BPSK 的一半（符号速率减半）
• 噪声系数用比值计算，噪声因子用 dB 表示
• 谐振回路有载 Q 值小于空载 Q 值
• 晶体振荡器串联和并联谐振频率不同

参考资料

• 樊昌信《通信原理》（第 7 版）
• 高如星《通信电子线路》
• Proakis《数字通信》
• 谢希仁《计算机网络》（物理层部分）