《微波技术》第三章“微波谐振腔”

《微波技术》第三章“微波谐振腔” - 一篇关于技术的文章

1. 核心概念：为什么需要谐振腔？

传统的LC谐振电路在低频时工作良好，但在频率升高进入微波波段时，会出现一系列问题：

• 损耗增加：导线的趋肤效应和介质损耗变得显著，导致品质因数Q值急剧下降。
• 辐射增加：电路尺寸与工作波长相当，导致能量以电磁波形式辐射出去，而不是存储在电路中。
• 储能减少：为了提高谐振频率（$\omega = 1/\sqrt{LC}$），必须减小L和C，这导致电路尺寸变小，储能能力下降。

微波谐振腔就是为了解决这些问题而提出的。它是一个由良导体壁包围的空腔，利用在腔体内部形成驻波的电磁场来存储能量。

谐振腔与LC回路的关键区别

特性	LC谐振回路	微波谐振腔
参数类型	集总参数电路	分布参数系统
谐振模式	只有一个谐振频率 $f_0$	有无限多个离散的谐振频率和模式
Q值	在微波段很低	在微波段可以非常高

2. 谐振腔的基本参数

谐振腔的性能主要由三个基本参数描述：

1. 谐振波长 ($\lambda_0$) / 谐振频率 ($f_0$)：决定了谐振腔的工作频率。
2. 品质因数 (Q)：衡量谐振腔储能能力与能量损耗的比率，也代表了其选频特性的优劣。
3. 等效电导 (G)：与腔内损耗功率有关的参数。

3. 谐振波长与谐振频率

3.1. 基本谐振条件（难点讲解）

谐振的本质是在腔体内形成稳定的驻波。电磁波在腔体内沿长度方向（通常是z轴）来回反射，只有当腔体长度 $l$ 满足特定条件时，入射波和反射波才能形成稳定的干涉，即驻波。

这个条件是：腔体长度 $l$ 必须等于导内波长 $\lambda_\text{guide}$ 的整数 $p$ 倍的一半。

$$l = p \frac{\lambda_\text{guide}}{2} \quad (p = 1, 2, 3, \dots)$$

这里的 $p$ 代表了场沿长度 $l$ 方向的半波长的数目。

导内波长 $\lambda_\text{guide}$ 与自由空间波长 $\lambda_0$（即谐振波长）以及波导的截止波长 $\lambda_c$ 之间满足以下关系：

$$\frac{1}{\lambda_0^2} = \frac{1}{\lambda_\text{guide}^2} + \frac{1}{\lambda_c^2}$$

将 $\lambda_\text{guide} = 2l/p$ 代入上式，就可以得到计算任意模式谐振波长 $\lambda_0$ 的通用公式：

$$\lambda_0 = \frac{1}{\sqrt{(\frac{p}{2l})^2 + (\frac{1}{\lambda_c})^2}}$$

3.2. 矩形谐振腔

对于尺寸为 $a \times b \times l$ 的矩形谐振腔：

• 其截止波长 $\lambda_c$ 由横截面尺寸 $a$ 和 $b$ 以及模式 $(m, n)$ 决定。
• 最终的谐振波长和频率公式为：

$$\lambda_0 = \frac{2}{\sqrt{(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2 + (\frac{p}{l})^2}}$$ $$f_0 = \frac{c}{2\sqrt{\epsilon_r\mu_r}} \sqrt{(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2 + (\frac{p}{l})^2}$$

• 模式(m, n, p)：
  • $m, n$ 分别表示场在x, y方向上随距离变化的半驻波波数。
  • $p$ 表示场在z方向上随距离变化的半驻波波数。
  • TEmnp 模式: $m, n$ 不能同时为0, $p \geq 1$。
  • TMmnp 模式: $m \geq 1$, $n \geq 1$, $p \geq 0$。
• 主模 (Dominant Mode)：具有最低谐振频率（最长谐振波长）的模式。通常，如果 $a > l > b$，主模为 $TE_{101}$ 模式。
• 简并模式 (Degenerate Modes)：指两个或多个不同模式具有相同的谐振频率。例如，在立方腔 $a=b=l$ 中，$TE_{101}$, $TE_{011}$, $TM_{110}$ 模式就是简并的。

3.3. 圆形谐振腔

对于半径为 $a$，长度为 $l$ 的圆形谐振腔：

• 谐振波长通用公式为：

$$\lambda_0 = \frac{2\pi}{\sqrt{(k_c)^2 + (\frac{p\pi}{l})^2}}$$

• 其中 $k_c$ 是截止波数，其值取决于模式类型：
  • TMnip 模式: $k_c = \frac{\nu_{ni}}{a}$，$\nu_{ni}$ 是n阶贝塞尔函数 $J_n(x)$ 的第 $i$ 个根。
  • TEnip 模式: $k_c = \frac{\mu_{ni}}{a}$，$\mu_{ni}$ 是n阶贝塞尔函数导数 $J_n'(x)$ 的第 $i$ 个根。

几个重要的圆形腔模式（难点讲解）

1. $TM_{010}$ ($E_{010}$) 模式

• 谐振波长：$\lambda_0 = \frac{2\pi a}{\nu_{01}} \approx 2.61a$
• 特点：谐振频率仅与半径a有关，与长度l无关。电场在中心最强且沿轴向（z向），磁场呈同心圆分布。因为频率不依赖于 $l$ ，所以无法通过改变长度来调谐。

2. $TE_{011}$ ($H_{011}$) 模式

• 特点：具有极高的Q值。其壁电流只在圆周方向流动，侧壁与端面之间没有电流流过。这允许使用非接触式活塞来调谐频率，避免了接触不良带来的损耗，因此常用于制作高精度波长计。

3. $TE_{111}$ ($H_{111}$) 模式

• 特点：通常是圆形谐振腔的主模（当 $l$ 与 $2a$ 尺寸相当时）。其壁电流存在从侧壁到端面的流动，因此调谐时需要使用接触式活塞，以保证良好导电。

4. 品质因数 Q

Q值是谐振腔最重要的性能指标之一。

4.1. Q值的定义

• 能量定义 (物理本质)：

  $$Q_0 = \omega_0 \frac{W_0}{P_L} = 2\pi \frac{\text{一个周期内平均储能}}{\text{一个周期内耗散的能量}}$$

  其中 $W_0$ 是腔内存储的总能量，$P_L$ 是总的损耗功率（包括导体壁损耗 $P_c$ 和介质损耗 $P_d$）。

• 频率定义 (测量方法)：

  $$Q_0 = \frac{f_0}{\Delta f_{3dB}}$$

  其中 $f_0$ 是谐振频率，$\Delta f$ 是谐振曲线功率下降一半（-3dB）时的频率宽度（带宽）。Q值越高，带宽越窄，选频特性越好。

4.2. 固有品质因数

在计算中，总损耗是导体损耗和介质损耗之和，Q值可以分解为：

$$\frac{1}{Q_0} = \frac{1}{Q_c} + \frac{1}{Q_d}$$

• $Q_c$ 是只考虑导体损耗时的品质因数。
• $Q_d$ 是只考虑介质损耗时的品质因数。
• 对于空气填充的腔体，$Q_d$ 趋于无穷大，$Q_0 \approx Q_c$。

一个重要的结论是，对于几何形状相似的谐振腔，Q值与尺寸成正比，与趋肤深度 $\delta$ 的倒数成正比 。这意味着尺寸越大、频率越高、导体电导率越高的腔体，Q值也越高。

5. 同轴谐振腔

• 工作模式：主要工作在 TEM 模式，场结构简单稳定，无截止频率。
• 优点：工作频带很宽，稳定。
• 缺点：由于增加了内导体，损耗增大，Q值相对较低。

两种基本类型

1. λ/2 型同轴谐振腔

• 结构：两端均短路。
• 谐振条件：腔体长度 $l$ 为半波长的整数倍。 $$l = p \frac{\lambda_0}{2} \quad \implies \quad \lambda_0 = \frac{2l}{p}$$

2. λ/4 型同轴谐振腔

• 结构：一端短路，一端开路。
• 谐振条件：腔体长度 $l$ 为1/4波长的奇数倍。 $$l = (2p-1) \frac{\lambda_0}{4} \quad \implies \quad \lambda_0 = \frac{4l}{2p-1}$$ 常用于制作波长计等。