《微波技术》第二章“规则波导”

本文档是对《规则波导》这一章节的核心知识点和公式的总结，旨在帮助您建立清晰的知识框架，并攻克学习难点。

1. 波导基础与基本假设

1.1 核心概念

• 广义波导: 任何能够引导电磁波沿确定方向传播的结构。在微波技术中，通常指各种金属波导（如空心金属管）。
• 规则波导: 指横截面的形状、尺寸以及内部填充的介质性质，在沿着传播轴向（通常是z轴）上均不发生变化 的无限长直波导。这是我们分析的理想模型。

1.2 基本假设（空心波导）

为了简化分析，我们通常基于以下三个理想条件：

1. 沿z向均匀、无限长: 波导的几何结构和介质在传播方向上是恒定的。
2. 理想导体壁 (PEC - Perfect Electric Conductor): 波导壁电导率无限大（$\sigma \to \infty$），电磁波无法穿透，壁上切向电场为零。
3. 无耗、各向同性的填充介质: 介质的介电常数 $\varepsilon$ 和磁导率 $\mu$ 是不随空间变化的标量，且没有能量损耗。

2. 电磁场理论基础：麦克斯韦方程与波动方程

波导分析的理论基石是麦克斯韦方程。在无源（$\rho=0, J=0$）、无耗介质中，其时谐形式为：

$$\begin{cases} \nabla \times \vec{E} = -j\omega\mu\vec{H} \\ \nabla \times \vec{H} = j\omega\varepsilon\vec{E} \\ \nabla \cdot \vec{E} = 0 \\ \nabla \cdot \vec{H} = 0 \end{cases}$$

由此可以推导出亥姆霍兹波动方程（Helmholtz Wave Equation）：

$$\nabla^2 \vec{E} + k^2 \vec{E} = 0$$ $$\nabla^2 \vec{H} + k^2 \vec{H} = 0$$

其中，$k = \omega \sqrt{\mu\varepsilon}$ 是介质中的波数（Phase Constant）。

3. 求解核心方法：纵向场法

直接求解矢量波动方程非常复杂。纵向场法是求解规则波导问题的最基本、最核心的方法。

核心思想：将场的6个分量（$E_x, E_y, E_z, H_x, H_y, H_z$）分为横向分量（$E_t, H_t$）和纵向分量（$E_z, H_z$）。可以证明， 所有横向场分量都可以由纵向场分量 $E_z$ 和 $H_z$ 唯一确定。

这样，复杂的矢量问题就简化为：

1. 先求解 $E_z$ 和 $H_z$ 这两个标量满足的波动方程。
2. 再利用它们与横向场的关系式，代入求出其余四个分量。

假设电磁波沿z轴传播，其传播因子为 $e^{-\gamma z}$，其中 $\gamma$ 是传播常数。 横向场分量和纵向场分量的关系式为：

$$\vec{e}_t = \frac{1}{\gamma^2+k^2} (-\gamma \nabla_t e_z - j\omega\mu \nabla_t h_z \times \vec{a}_z)$$ $$\vec{h}_t = \frac{1}{\gamma^2+k^2} (-\gamma \nabla_t h_z + j\omega\varepsilon \nabla_t e_z \times \vec{a}_z)$$

其中，我们定义截止波数 $k_c$：

$$k_c^2 = \gamma^2 + k^2$$

这个关系式极其重要，它联系了传播常数 $\gamma$、介质波数 $k$ 和 截止波数 $k_c$。

【难点解析】为什么使用纵向场法？

• 降维打击：直接求解包含6个未知分量的矢量波动方程非常困难。而纵向场分量 $E_z$ 和 $H_z$ 是标量，它们满足的是相对简单的* 标量亥姆霍兹方程*。我们只需解出这两个标量，其他四个分量就能通过代数关系导出，极大地简化了求解过程。
• 模式划分的物理基础：后续我们会看到，根据 $E_z$ 和 $H_z$ 是否为零，可以自然地将波导中的模式划分为TE、TM和TEM模，这种方法与波型的物理特性完美契合。

4. 波导中的基本波型 (TE, TM, TEM)

根据纵向场分量 $E_z$ 和 $H_z$ 的情况，可以将波导中的电磁波分为三种基本模式。

1. 横电磁波 (TEM - Transverse Electro-Magnetic Wave)

• 定义: 沿传播方向（z轴）既没有电场分量，也没有磁场分量。
• 条件: $E_z=0$ 且 $H_z=0$。
• 特性:
  • 没有截止频率，可以传输任意频率的电磁波。
  • 空心单导体波导（如矩形、圆形波导）不能传输TEM波。
  • TEM波需要至少两个相互分离的导体才能传输，如同轴线、平行双导线。

2. 横磁波 (TM - Transverse Magnetic Wave)

• 定义: 沿传播方向只有电场分量，没有磁场分量。
• 条件: $H_z=0$ 但 $E_z \neq 0$。
• 特性: 磁力线完全在横向平面内，电力线既有横向分量也有纵向分量。也称为 E波。

3. 横电波 (TE - Transverse Electric Wave)

• 定义: 沿传播方向只有磁场分量，没有电场分量。
• 条件: $E_z=0$ 但 $H_z \neq 0$。
• 特性: 电力线完全在横向平面内，磁力线既有横向分量也有纵向分量。也称为 H波。

【难点解析】TE, TM, TEM 模式的记忆与区分

• 看“缺啥”：名字里的“横(Transverse)”指的是垂直于传播方向。
  • 横电 (TE)：电场(E)是横的 $\implies$ 缺纵向电场 $E_z$。
  • 横磁 (TM)：磁场(H)是横的 $\implies$ 缺纵向磁场 $H_z$。
  • 横电磁 (TEM)：电和磁都是横的 $\implies$ 既缺 $E_z$ 又缺 $H_z$。
• 看“有啥”：
  • E波 (TM波)：有纵向E场。
  • H波 (TE波)：有纵向H场。

5. 电磁波的传输特性

5.1 截止现象 (Cutoff Phenomenon)

这是空心波导最重要的特性之一。波导像一个高通滤波器，只有频率高于某个特定值的电磁波才能在其中无衰减地传播。

• 传播常数: $\gamma = \sqrt{k_c^2 - k^2} = \sqrt{(\frac{2\pi}{\lambda_c})^2 - (\frac{2\pi}{\lambda})^2}$
• 传输条件 (k > k_c): 当工作频率 $f$ 高于截止频率 $f_c$（即工作波长 $\lambda$ 小于截止波长 $\lambda_c$）时：
  • $\gamma = j\beta = j\sqrt{k^2 - k_c^2}$ 为纯虚数。
  • 传播因子为 $e^{-j\beta z}$，表示波在无衰减的情况下沿z轴传播。
• 截止状态 (k < k_c): 当工作频率 $f$ 低于截止频率 $f_c$（即工作波长 $\lambda$ 大于截止波长 $\lambda_c$）时：
  • $\gamma = \alpha = \sqrt{k_c^2 - k^2}$ 为纯实数。
  • 传播因子为 $e^{-\alpha z}$，表示波的振幅沿z轴按指数规律迅速衰减，能量无法有效传输。

【难点解析】截止波长 $\lambda_c$ 与截止频率 $f_c$

• 物理意义: 它们是波能否在特定模式下传播的“门槛”。$\lambda_c$ 是一个临界长度，$\lambda > \lambda_c$ 的波因为“太长了”而被“卡住”无法通过。$f_c$ 是一个临界频率， $f < f_c$ 的波因为频率“太低了”而无法激励起有效的传播模式。
• 决定因素: $\lambda_c$ 完全由波导的横截面几何形状和尺寸决定，对于一个确定的模式，它是一个固定的值。

5.2 相速度 ($v_p$) 与 群速度 ($v_g$)

• 相速度 (Phase Velocity): 波的等相位面沿传播方向移动的速度。

  $$v_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{c}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}}$$

  特点: 在波导中，相速度 $v_p$ 大于真空中的光速 $c$。

• 群速度 (Group Velocity): 信号或能量在波导中传播的速度。

  $$v_g = \frac{d\omega}{d\beta} = c \sqrt{1 - (f_c/f)^2}$$

  特点: 群速度 $v_g$ 小于真空中的光速 $c$。

• 两者关系: $v_p \cdot v_g = c^2$ （假设介质为真空）。

【难点解析】相速度超光速？

这并不违反相对论。相对论指出，任何携带信息或能量的物质的传播速度都不能超过光速。在波导中，真正代表信息和能量传播速度的是 群速度 $v_g$，它恒小于c。相速度只是一个数学上定义的“相位点”的移动速度，并不传递能量。可以将其想象成海浪拍击海岸线，浪峰本身的速度并不快，但浪峰与海岸线相交的点可以以极高的速度沿着海岸线移动。

5.3 波阻抗 (Wave Impedance)

波阻抗定义为横向电场与横向磁场的比值 $Z_w = E_t / H_t$。

• TE模波阻抗: $$Z_{TE} = \frac{\eta}{\sqrt{1 - (f_c/f)^2}} > \eta$$
• TM模波阻抗: $$Z_{TM} = \eta \sqrt{1 - (f_c/f)^2} < \eta$$ 其中 $\eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}$ 是介质的本征阻抗。

6. 重点分析：矩形波导

设矩形波导宽边为 $a$，窄边为 $b$ ($a>b$)。

6.1 TMmn 模与 TEmn 模

通过求解波动方程并应用边界条件，可以得到不同模式的解。下标 $m, n$ 分别表示波在 x 和 y 方向上场变化的半周期数。

• 截止波数: $$k_c = \sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2 + (\frac{n\pi}{b})^2}$$
• 截止波长: $$\lambda_c = \frac{2\pi}{k_c} = \frac{2}{\sqrt{(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2}}$$
• 模式存在条件:
  • TMmn: $m \ge 1, n \ge 1$。最低模式是 TM11。
  • TEmn: $m, n$ 不能同时为0。最低模式是 TE10 (假设 $a>b$)。

6.2 基模 (Dominant Mode) 与单模传输

• 基模: 在所有可能存在的模式中，截止频率最低（截止波长最长）的模式。
• 对于 $a>b$ 的标准矩形波导，TE10 模是基模。其截止波长为： $$\lambda_{c, TE10} = 2a$$
• 单模传输: 为了保证信号传输的纯净性，通常让波导工作在只允许基模传输、而所有高次模都处于截止状态的频率范围内。
• 单模传输条件: $$\lambda_{c, next} < \lambda < \lambda_{c, dominant}$$ 对于TE10模，就是要让工作波长 $\lambda$ 介于次高模式的截止波长和TE10模的截止波长之间。通常次高模为TE20($\lambda_c=a$) 或TE01($\lambda_c=2b$)。所以单模工作范围是 $a < \lambda < 2a$ (若$a<2b$) 或 $2b < \lambda < 2a$ (若$a>2b$)。

【难点解析】为什么 TE10 是基模？

将不同的 $m, n$ 值代入截止波长公式 $\lambda_c = \frac{2}{\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}}$。

• TM模要求 $m,n$ 都不能为0，最小的是 TM11。
• TE模要求 $m,n$ 不能同时为0。
• 因为 $a > b$，分母中 $(m/a)^2$ 项比 $(n/b)^2$ 项影响小。要使分母最小（即 $\lambda_c$ 最大），我们应取尽可能小的 $m, n$。
• 尝试 $m=1, n=0$，得到 $\lambda_c = 2a$。
• 尝试 $m=0, n=1$，得到 $\lambda_c = 2b$。
• 因为 $a > b$，所以 $2a > 2b$。因此 TE10 模式的截止波长最长，是基模。

6.3 矩形波导为何不能传输 TEM 波？

从数学上讲，在TEM波（$E_z=0, H_z=0$）的条件下，麦克斯韦方程组会推导出横向电场 $\vec{E}_t$ 的旋度和散度均为0，这意味着 $\vec{E}_t$ 可以表示为一个标量势的梯度 $\vec{E}_t = -\nabla_t \phi$ ，且该势满足拉普拉斯方程 $\nabla_t^2 \phi = 0$。在单连通的导体边界（如矩形波导内壁）上，电势 $\phi$ 必须为常数。根据拉普拉斯方程的唯一性解，整个区域内的电势 $\phi$ 必然处处为常数，这导致电场 $\vec{E}_t$ 处处为零。因此，非零的TEM场无法在空心单导体波导中存在。

7. 重点分析：圆形波导

半径为 $a$ 的圆形波导。

7.1 求解方法与贝塞尔函数

在柱坐标系下求解波动方程，其径向的解是贝塞尔函数（Bessel Function）。

• TMni 模:
  • 截止条件: 由 $J_n(k_c a) = 0$ 决定。
  • 截止波数: $k_c = \frac{p_{ni}}{a}$，其中 $p_{ni}$ 是n阶贝塞尔函数 $J_n(x)$ 的第 $i$ 个根。
• TEni 模:
  • 截止条件: 由 $J'_n(k_c a) = 0$ 决定。
  • 截止波数: $k_c = \frac{p'_{ni}}{a}$，其中 $p'_{ni}$ 是n阶贝塞尔函数导数 $J'_n(x)$ 的第 $i$ 个根。

7.2 基模与简并现象

• 基模: TE11 模 是圆形波导的基模，其截止波长最长 ($\lambda_c \approx 3.41a$)。
• 简并 (Degeneracy): 截止频率相同但场分布不同的模式称为简并模式。在圆形波导中，TE01 模 和 TM11 模 就是一对典型的简并模式。

【难点解析】简并 (Degeneracy) 是什么？

想象一下，一个房间有两个不同的门，但这两个门的高度完全一样。简并就像这样，圆形波导对于 TE01 和 TM11 这两种完全不同的波型，给出了完全相同的“通过门槛”（截止频率）。这在某些应用中可能导致不希望的模式转换和信号失真。此外，由于圆的对称性，像TE11这样的非对称模式存在 极化简并，即水平极化和垂直极化的TE11模式具有相同的传播特性。

8. 关键公式速查表

概念	公式	说明
核心关系式	$\gamma^2 + k^2 = k_c^2$	联系传播常数、波数、截止波数
传播常数	$\gamma = \sqrt{k_c^2 - k^2}$	$\gamma=j\beta$ (传输), $\gamma=\alpha$ (截止)
相速度	$v_p = \frac{c}{\sqrt{1 - (\lambda/\lambda_c)^2}}$	$v_p > c$
群速度	$v_g = c \sqrt{1 - (\lambda/\lambda_c)^2}$	$v_g < c$
TE模波阻抗	$Z_{TE} = \frac{\eta}{\sqrt{1 - (\lambda/\lambda_c)^2}}$	$Z_{TE} > \eta$
TM模波阻抗	$Z_{TM} = \eta \sqrt{1 - (\lambda/\lambda_c)^2}$	$Z_{TM} < \eta$
矩形波导 $\lambda_c$	$\lambda_c = \frac{2}{\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2}}$	基模 TE10, $\lambda_c = 2a$
圆形波导 $\lambda_c$	$\lambda_c = \frac{2\pi a}{p_{ni} \text{ or } p'_{ni}}$	基模 TE11, $\lambda_c \approx 3.41a$