信号与系统及DSP常用数学公式参考手册

本文系统地整理了信号与系统和数字信号处理（DSP）领域中最常用的数学公式，适合作为学习和工作中的快速参考手册。

一、基本信号定义

1.1 常用连续时间信号

单位阶跃信号

$$u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}$$

单位冲激信号（狄拉克函数）

$$\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t = 0 \\ 0, & t \neq 0 \end{cases}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1$$

复指数信号

$$x(t) = e^{st} = e^{(\sigma + j\omega)t} = e^{\sigma t}(\cos \omega t + j \sin \omega t)$$

正弦信号

使用角频率：

$$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi)$$

使用频率：

$$x(t) = A \cos(2\pi f_0 t + \phi)$$

其中 $\omega_0 = 2\pi f_0$。

1.2 常用离散时间信号

单位阶跃序列

$$u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

单位脉冲序列

$$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases}$$

复指数序列

$$x[n] = e^{j\omega_0 n} = \cos(\omega_0 n) + j\sin(\omega_0 n)$$

二、卷积与系统响应

2.1 连续时间卷积

$$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$

2.2 离散时间卷积

$$y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k]$$

2.3 卷积性质

• 交换律：$x(t) * h(t) = h(t) * x(t)$
• 结合律：$[x(t) * h_1(t)] * h_2(t) = x(t) * [h_1(t) * h_2(t)]$
• 分配律：$x(t) * [h_1(t) + h_2(t)] = x(t) * h_1(t) + x(t) * h_2(t)$

三、傅里叶分析

频率关系说明

在傅里叶分析中，有两种常用的频率表示方式：

• 角频率 $\omega$ (rad/s)：$\omega = 2\pi f$
• 频率 $f$ (Hz)：$f = \frac{\omega}{2\pi}$

3.1 连续时间傅里叶变换（CTFT）

3.1.1 使用角频率 ω 的形式

正变换

$$X(j\omega) = \mathcal{F}_\omega\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$$

逆变换

$$x(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\{X(j\omega)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$$

3.1.2 使用频率 f 的形式

正变换

$$X(f) = \mathcal{F}_f\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt$$

逆变换

$$x(t) = \mathcal{F}_f^{-1}\{X(f)\} = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df$$

两种形式的关系

$$X(f) = X(j\omega)\Big|_{\omega = 2\pi f}$$

3.2 离散时间傅里叶变换（DTFT）

正变换

$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}$$

逆变换

$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega$$

3.3 傅里叶级数（FS）

3.3.1 使用角频率 ω 的形式

连续时间周期信号傅里叶级数

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$$

系数公式

$$a_k = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt$$

其中 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 为基波角频率。

3.3.2 使用频率 f 的形式

连续时间周期信号傅里叶级数

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j2\pi kf_0 t}$$

系数公式

$$c_k = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-j2\pi kf_0 t} dt$$

其中 $f_0 = \frac{1}{T}$ 为基波频率。

关系：$c_k = a_k$，$f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}$

3.4 离散傅里叶变换（DFT）

正变换

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1$$

逆变换（IDFT）

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n = 0, 1, \ldots, N-1$$

3.5 傅里叶变换性质

3.5.1 使用角频率 ω 的性质表

性质	时域	频域（角频率）
线性	$ax_1(t) + bx_2(t)$	$aX_1(j\omega) + bX_2(j\omega)$
时移	$x(t - t_0)$	$e^{-j\omega t_0} X(j\omega)$
频移	$e^{j\omega_0 t} x(t)$	$X(j(\omega - \omega_0))$
尺度变换	$x(at)$	$\frac{1}{\|a\|} X(j\frac{\omega}{a})$
时域卷积	$x(t) * h(t)$	$X(j\omega) H(j\omega)$
频域卷积	$x(t) h(t)$	$\frac{1}{2\pi} X(j\omega) * H(j\omega)$
微分	$\frac{dx(t)}{dt}$	$j\omega X(j\omega)$
积分	$\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$	$\frac{1}{j\omega} X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)$
对偶性	$X(jt)$	$2\pi x(-\omega)$
Parseval定理	$\int_{-\infty}^{\infty} \|x(t)\|^2 dt$	$\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \|X(j\omega)\|^2 d\omega$

3.5.2 使用频率 f 的性质表

性质	时域	频域（频率）
线性	$ax_1(t) + bx_2(t)$	$aX_1(f) + bX_2(f)$
时移	$x(t - t_0)$	$e^{-j2\pi ft_0} X(f)$
频移	$e^{j2\pi f_0 t} x(t)$	$X(f - f_0)$
尺度变换	$x(at)$	$\frac{1}{\|a\|} X(\frac{f}{a})$
时域卷积	$x(t) * h(t)$	$X(f) H(f)$
频域卷积	$x(t) h(t)$	$X(f) * H(f)$
微分	$\frac{dx(t)}{dt}$	$j2\pi f X(f)$
积分	$\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$	$\frac{1}{j2\pi f} X(f) + \frac{1}{2} X(0)\delta(f)$
对偶性	$X(t)$	$x(-f)$
Parseval定理	$\int_{-\infty}^{\infty} \|x(t)\|^2 dt$	$\int_{-\infty}^{\infty} \|X(f)\|^2 df$

3.6 常用信号的傅里叶变换

3.6.1 使用角频率 ω 的变换对

$$\begin{aligned} \delta(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} 1 \\ 1 &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi\delta(\omega) \\ e^{j\omega_0 t} &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi\delta(\omega - \omega_0) \\ \cos(\omega_0 t) &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] \\ \sin(\omega_0 t) &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} j\pi[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] \\ u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega) \\ e^{-at}u(t), a>0 &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j\omega} \\ te^{-at}u(t), a>0 &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{(a + j\omega)^2} \end{aligned}$$

3.6.2 使用频率 f 的变换对

$$\begin{aligned} \delta(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} 1 \\ 1 &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \delta(f) \\ e^{j2\pi f_0 t} &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \delta(f - f_0) \\ \cos(2\pi f_0 t) &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{2}[\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] \\ \sin(2\pi f_0 t) &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j2}[\delta(f - f_0) - \delta(f + f_0)] \\ u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{j2\pi f} + \frac{1}{2}\delta(f) \\ e^{-at}u(t), a>0 &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a + j2\pi f} \\ te^{-at}u(t), a>0 &\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{(a + j2\pi f)^2} \end{aligned}$$

四、拉普拉斯变换

4.1 双边拉普拉斯变换

正变换

$$X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$

逆变换

$$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s) e^{st} ds$$

4.2 单边拉普拉斯变换

$$X(s) = \int_{0^-}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$

4.3 拉普拉斯变换性质

性质	时域	s域	ROC
线性	$ax_1(t) + bx_2(t)$	$aX_1(s) + bX_2(s)$	至少为 $R_1 \cap R_2$
时移	$x(t - t_0)u(t - t_0)$	$e^{-st_0} X(s)$	$R$
s域平移	$e^{s_0 t} x(t)$	$X(s - s_0)$	$R$ 平移 $\text{Re}\{s_0\}$
尺度变换	$x(at)$	$\frac{1}{\|a\|} X(\frac{s}{a})$	$R$ 缩放 $a$ 倍
时域微分	$\frac{dx(t)}{dt}$	$sX(s)$	至少为 $R$
s域微分	$-tx(t)$	$\frac{dX(s)}{ds}$	$R$
时域积分	$\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$	$\frac{1}{s} X(s)$	至少为 $R \cap \{\text{Re}\{s\} > 0\}$
时域卷积	$x_1(t) * x_2(t)$	$X_1(s) X_2(s)$	至少为 $R_1 \cap R_2$

4.4 常用信号的拉普拉斯变换

$$\begin{aligned} \delta(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} 1 & \text{全s平面} \\ u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s} & \text{Re}\{s\} > 0 \\ t u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s^2} & \text{Re}\{s\} > 0 \\ t^n u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} \frac{n!}{s^{n+1}} & \text{Re}\{s\} > 0 \\ e^{-at} u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s + a} & \text{Re}\{s\} > -a \\ te^{-at} u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{(s + a)^2} & \text{Re}\{s\} > -a \\ \cos(\omega_0 t) u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} \frac{s}{s^2 + \omega_0^2} & \text{Re}\{s\} > 0 \\ \sin(\omega_0 t) u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} & \text{Re}\{s\} > 0 \\ e^{-at}\cos(\omega_0 t) u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} \frac{s + a}{(s + a)^2 + \omega_0^2} & \text{Re}\{s\} > -a \\ e^{-at}\sin(\omega_0 t) u(t) &\xleftrightarrow{\mathcal{L}} \frac{\omega_0}{(s + a)^2 + \omega_0^2} & \text{Re}\{s\} > -a \end{aligned}$$

五、Z变换

5.1 双边Z变换

正变换

$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

逆变换

$$x[n] = \mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z) z^{n-1} dz$$

5.2 单边Z变换

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

5.3 Z变换性质

性质	时域	z域	ROC
线性	$ax_1[n] + bx_2[n]$	$aX_1(z) + bX_2(z)$	至少为 $R_1 \cap R_2$
时移	$x[n - n_0]$	$z^{-n_0} X(z)$	$R$ (可能增减 $z=0$ 或 $z=\infty$)
z域尺度	$a^n x[n]$	$X(\frac{z}{a})$	$\|a\|R$
时间翻转	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	$\frac{1}{R}$
共轭	$x^*[n]$	$X^*(z^*)$	$R$
时域卷积	$x_1[n] * x_2[n]$	$X_1(z) X_2(z)$	至少为 $R_1 \cap R_2$
z域微分	$nx[n]$	$-z\frac{dX(z)}{dz}$	$R$
初值定理	$x[0]$	$\lim_{z \to \infty} X(z)$
终值定理	$\lim_{n \to \infty} x[n]$	$\lim_{z \to 1} (z-1)X(z)$	ROC包含单位圆

5.4 常用序列的Z变换

$$\begin{aligned} \delta[n] &\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} 1 & \text{全z平面} \\ u[n] &\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z - 1} & |z| > 1 \\ a^n u[n] &\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z - a} & |z| > |a| \\ -a^n u[-n-1] &\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z - a} & |z| < |a| \\ na^n u[n] &\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{az^{-1}}{(1 - az^{-1})^2} = \frac{az}{(z - a)^2} & |z| > |a| \\ \cos(\omega_0 n) u[n] &\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{1 - z^{-1}\cos\omega_0}{1 - 2z^{-1}\cos\omega_0 + z^{-2}} & |z| > 1 \\ \sin(\omega_0 n) u[n] &\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{z^{-1}\sin\omega_0}{1 - 2z^{-1}\cos\omega_0 + z^{-2}} & |z| > 1 \\ r^n\cos(\omega_0 n) u[n] &\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{1 - rz^{-1}\cos\omega_0}{1 - 2rz^{-1}\cos\omega_0 + r^2z^{-2}} & |z| > r \\ r^n\sin(\omega_0 n) u[n] &\xleftrightarrow{\mathcal{Z}} \frac{rz^{-1}\sin\omega_0}{1 - 2rz^{-1}\cos\omega_0 + r^2z^{-2}} & |z| > r \end{aligned}$$

六、采样定理

6.1 奈奎斯特采样定理

对于带限信号 $x(t)$，若其最高频率为 $f_m$ (Hz) 或最高角频率为 $\omega_m$ (rad/s)，则采样频率必须满足：

使用频率 f

$$f_s \geq 2f_m$$

使用角频率 ω

$$\omega_s \geq 2\omega_m$$

其中：

• $f_N = 2f_m$ 称为奈奎斯特频率 (Hz)
• $\omega_N = 2\omega_m$ 称为奈奎斯特角频率 (rad/s)
• $T_s = \frac{1}{f_s}$ 为采样周期

6.2 采样公式

理想采样（时域）

$$x_s(t) = x(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT_s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s) \delta(t - nT_s)$$

频域（使用角频率 ω）

$$X_s(j\omega) = \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(j(\omega - k\omega_s))$$

频域（使用频率 f）

$$X_s(f) = f_s \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f - kf_s)$$

6.3 重建公式（Whittaker-Shannon插值）

使用采样周期 $T_s$

$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s) \frac{\sin[\pi(t - nT_s)/T_s]}{\pi(t - nT_s)/T_s} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s) \text{sinc}\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right)$$

使用采样频率 $f_s$

$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n/f_s) \text{sinc}[f_s(t - n/f_s)]$$

七、数字滤波器

7.1 系统函数与差分方程

差分方程

$$\sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k]$$

系统函数（传递函数）

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k}} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{a_0 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}}$$

频率响应

$$H(e^{j\omega}) = H(z)\Big|_{z=e^{j\omega}}$$

7.2 IIR滤波器设计

一阶低通滤波器

$$H(z) = \frac{1 - \alpha}{1 - \alpha z^{-1}}, \quad 0 < \alpha < 1$$

二阶IIR滤波器（双线性变换）

$$s = \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$$

巴特沃斯滤波器阶数估计

$$N \geq \frac{\log_{10}\left[\frac{10^{0.1A_s} - 1}{10^{0.1A_p} - 1}\right]}{2\log_{10}(\omega_s/\omega_p)}$$

其中 $A_p$ 为通带最大衰减(dB)，$A_s$ 为阻带最小衰减(dB)。

7.3 FIR滤波器设计

线性相位FIR滤波器

对称条件：$h[n] = h[N-1-n]$

窗函数法

$$h[n] = h_d[n] \cdot w[n]$$

常用窗函数：

• 矩形窗：$w[n] = 1, \quad 0 \leq n \leq N-1$

• 汉宁窗：$w[n] = 0.5 - 0.5\cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right), \quad 0 \leq n \leq N-1$

• 汉明窗：$w[n] = 0.54 - 0.46\cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right), \quad 0 \leq n \leq N-1$

• 布莱克曼窗：

  $$w[n] = 0.42 - 0.5\cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right) + 0.08\cos\left(\frac{4\pi n}{N-1}\right)$$

FIR滤波器长度估计（Kaiser窗）

$$N \approx \frac{A_s - 8}{2.285 \Delta\omega}$$

其中 $\Delta\omega$ 为过渡带宽度。

7.4 频率响应特性

幅度响应

$$|H(e^{j\omega})| = \sqrt{\text{Re}^2\{H(e^{j\omega})\} + \text{Im}^2\{H(e^{j\omega})\}}$$

相位响应

$$\angle H(e^{j\omega}) = \arctan\left(\frac{\text{Im}\{H(e^{j\omega})\}}{\text{Re}\{H(e^{j\omega})\}}\right)$$

群延迟

$$\tau(\omega) = -\frac{d\angle H(e^{j\omega})}{d\omega}$$

八、快速傅里叶变换（FFT）

8.1 DFT计算复杂度

• 直接计算DFT：$O(N^2)$ 次复数乘法
• FFT算法：$O(N\log_2 N)$ 次复数乘法

8.2 基-2 FFT（时间抽取）

分解

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn} = \sum_{m=0}^{N/2-1} x[2m] W_N^{2km} + W_N^k \sum_{m=0}^{N/2-1} x[2m+1] W_N^{2km}$$

其中 $W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}$ 称为旋转因子。

蝶形运算

$$\begin{aligned} X[k] &= A[k] + W_N^k B[k] \\ X[k + N/2] &= A[k] - W_N^k B[k] \end{aligned}$$

8.3 旋转因子性质

$$\begin{aligned} W_N^{k+N} &= W_N^k & \text{(周期性)} \\ W_N^{k+N/2} &= -W_N^k & \text{(对称性)} \\ W_N^{2k} &= W_{N/2}^k & \text{(可约性)} \\ W_N^* &= W_N^{-1} = W_N^{N-1} & \text{(共轭对称)} \end{aligned}$$

九、能量与功率

9.1 连续时间信号

能量

$$E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt$$

功率

$$P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt$$

9.2 离散时间信号

能量

$$E = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2$$

功率

$$P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$$

9.3 Parseval定理

连续时间

$$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(j\omega)|^2 d\omega$$

离散时间

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega$$

DFT形式

$$\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$$

十、系统稳定性与因果性

10.1 BIBO稳定性

连续时间系统

$$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty$$

离散时间系统

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty$$

10.2 因果性

连续时间系统

$$h(t) = 0, \quad \forall t < 0$$

离散时间系统

$$h[n] = 0, \quad \forall n < 0$$

10.3 稳定性判据

拉普拉斯域：ROC包含虚轴

Z域：ROC包含单位圆

极点位置：

• 因果稳定系统：所有极点在单位圆内（离散）或左半平面（连续）
• 反因果稳定系统：所有极点在单位圆外（离散）或右半平面（连续）

十一、常用DSP运算

11.1 相关函数

自相关

$$R_{xx}[m] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] x^*[n-m]$$

互相关

$$R_{xy}[m] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] y^*[n-m]$$

11.2 功率谱密度

维纳-辛钦定理

$$S_{xx}(e^{j\omega}) = \mathcal{F}\{R_{xx}[m]\}$$

对于WSS随机过程：

$$S_{xx}(e^{j\omega}) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} E\left[|X_N(e^{j\omega})|^2\right]$$

11.3 线性预测

线性预测误差

$$e[n] = x[n] - \hat{x}[n] = x[n] - \sum_{k=1}^{p} a_k x[n-k]$$

Yule-Walker方程

$$\begin{bmatrix} R_{xx}[0] & R_{xx}[1] & \cdots & R_{xx}[p-1] \\ R_{xx}[1] & R_{xx}[0] & \cdots & R_{xx}[p-2] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ R_{xx}[p-1] & R_{xx}[p-2] & \cdots & R_{xx}[0] \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{xx}[1] \\ R_{xx}[2] \\ \vdots \\ R_{xx}[p] \end{bmatrix}$$

十二、多采样率信号处理

12.1 下采样（抽取）

$$y[n] = x[Mn]$$

频域：

$$Y(e^{j\omega}) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X\left(e^{j(\omega - 2\pi k)/M}\right)$$

12.2 上采样（插值）

$$y[n] = \begin{cases} x[n/L], & n = 0, \pm L, \pm 2L, \ldots \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

频域：

$$Y(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega L})$$

12.3 有理倍采样率转换

$$\text{上采样} L \text{ 倍} \rightarrow \text{滤波} \rightarrow \text{下采样} M \text{ 倍}$$

采样率变化：$f_{s,out} = \frac{L}{M} f_{s,in}$

总结

本文系统地整理了信号与系统和DSP领域的核心数学公式，涵盖：

• ✅ 基本信号定义与特性
• ✅ 卷积与系统响应
• ✅ 傅里叶分析（CTFT、DTFT、DFT、FFT）
• ✅ 拉普拉斯变换与Z变换
• ✅ 采样定理与重建
• ✅ 数字滤波器设计（IIR、FIR）
• ✅ 系统稳定性与因果性分析
• ✅ 能量功率谱分析
• ✅ 多采样率信号处理

这些公式是信号处理工程师的必备工具，建议收藏备查。如有补充或勘误，欢迎交流讨论！

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参考资料

• Oppenheim, A. V., & Willsky, A. S. (1997). Signals and Systems
• Oppenheim, A. V., & Schafer, R. W. (2010). Discrete-Time Signal Processing
• Proakis, J. G., & Manolakis, D. G. (2007). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications